PHP实现KMP算法

记得大二的时候,就学过KMP算法,当时还觉得这个算法很有趣。今天,做字符串匹配,却没想到要用它,而用了较笨的方法求解,时间复杂度为O(m*n)。下面重温一下KMP算法。

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法,由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现,因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作(简称KMP算法)。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息,尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数,函数本身包含了模式串的局部匹配信息。时间复杂度O(m+n)。

KMP算法的具体步骤如下:

1.

首先,字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索词”ABCDABD”的第一个字符,进行比较。因为B与A不匹配,所以搜索词后移一位。

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KMP算法详解(转)

KMP算法详解(转)——这篇文章介绍kmp算法十分详实,故转载给大家交流与学习。

引记

此前一天,一位MS的朋友邀我一起去与他讨论快速排序,红黑树,字典树,B树、后缀树,包括KMP算法,唯独在讲解KMP算法的时候,言语磕磕碰碰,我想,原因有二:1、博客内的东西不常回顾,忘了不少;2、便是我对KMP算法的理解还不够彻底,自不用说讲解自如,运用自如了。所以,特再写本篇文章。由于此前,个人已经写过关于KMP算法的两篇文章,所以,本文名为:KMP算法之总结篇。

本文分为如下六个部分:

  1. 第一部分、再次回顾普通的BF算法与KMP算法各自的时间复杂度,并两相对照各自的匹配原理;
  2. 第二部分、通过我此前第二篇文章的引用,用图从头到尾详细阐述KMP算法中的next数组求法,并运用求得的next数组写出KMP算法的源码;
  3. 第三部分、KMP算法的两种实现,代码实现一是根据本人关于KMP算法的第二篇文章所写,代码实现二是根据本人的关于KMP算法的第一篇文章所写;
  4. 第四部分、测试,分别对第三部分的两种实现中next数组的求法进行测试,挖掘其区别之所在;
  5. 第五部分、KMP完整准确源码,给出KMP算法的准确的完整源码;
  6. 第六步份、一眼看出字符串的next数组各值,通过几个例子,让读者能根据字符串本身一眼判断出其next数组各值。

力求让此文彻底让读者洞穿此KMP算法,所有原理,来龙去脉,让读者搞个通通透透(注意,本文中第二部分及第三部分的代码实现一的字符串下标i 从0开始计算,其它部分如第三部分的代码实现二,第五部分,和第六部分的字符串下标i 皆是从1开始的)。

在看本文之前,你心中如若对前缀和后缀这个两个概念有自己的理解,便最好了。有些东西比如此KMP算法需要我们反复思考,反复求解才行。个人写的关于KMP算法的第二篇文章为:六(续)、从KMP算法一步一步谈到BM算法;第一篇为:六、教你初步了解KMP算法、updated(文末链接)。ok,若有任何问题,恳请不吝指正。多谢。

第一部分、KMP算法初解

1、普通字符串匹配BF算法与KMP算法的时间复杂度比较

KMP算法是一种线性时间复杂的字符串匹配算法,它是对BF算法(Brute-Force,最基本的字符串匹配算法的)改进。对于给的原始串S和模式串P,需要从字符串S中找到字符串P出现的位置的索引。

BF算法的时间复杂度O(strlen(S) * strlen(T)),空间复杂度O(1)。

KMP算法的时间复杂度O(strlen(S) + strlen(T)),空间复杂度O(strlen(T))。

2、BF算法与KMP算法的区别

假设现在S串匹配到i位置,T串匹配到j位置。那么总的来说,两种算法的主要区别在于失配的情况下,对的值做的处理:

BF算法中,如果当前字符匹配成功,即s[i+j] == T[j],令j++,继续匹配下一个字符;如果失配,即S[i + j] != T[j],需要让i++,并且j= 0,即每次匹配失败的情况下,模式串T相对于原始串S向右移动了一位。

而KMP算法中,如果当前字符匹配成功,即S[i]==T[j],令i++,j++,继续匹配下一个字符;如果匹配失败,即S[i] != T[j],需要保持i不变,并且让j = next[j],这里next[j] <=j -1,即模式串T相对于原始串S向右移动了至少1位(移动的实际位数j – next[j]  >=1),

同时移动之后,i之前的部分(即S[i-j+1 ~ i-1]),和j=next[j]之前的部分(即T[0 ~ j-2])仍然相等。显然,相对于BF算法来说,KMP移动更多的位数,起到了一个加速的作用! (失配的特殊情形,令j=next[j]导致j==0的时候,需要将i ++,否则此时没有移动模式串)。

3、BF算法为什么要回溯

首先说一下为什么BF算法要回溯。如下两字符串匹配(恰如上面所述:BF算法中,如果当前字符匹配成功,即s[i+j] == T[j],令j++,继续匹配下一个字符):

i+j(j随T中的j++变,而动)

S:aaaacefghij

j++

T:aaac

如果不回溯的话就是从下一位开始比起:

aaaacefghij

aaac

看到上面红颜色的没,如果不回溯的话,那么从a 的下一位c 比起。然而下述这种情况就漏了(正确的做法当然是要回溯:如果失配,即S[i + j] != T[j],需要让i++,并且j= 0):

aaaacefghij

aaac

    所以,BF算法要回溯,其代码如下:

  1. int Index(SString S, SString T, int pos) {
  2.    //返回T在S中第pos个字符之后的位置
  3.    i=pos; j=1;k=0;
  4.   while ( i< = S[0] && j< = T[0] ) {
  5.       if (S[i+k] = = T[j] ) {++k;  ++j;}   //继续比较后续字符
  6.       else {i=i+1;   j=1; k=0;}      //指针回溯到 下一首位,重新开始
  7.   }
  8.   if(j>T[0]) return i;          //子串结束,说明匹配成功
  9.   else return  0;
  10. }//Index

不过,也有特殊情况可以不回溯,如下:
abcdefghij(主串)
abcdefg(模式串)
即(模式串)没有相同的才不需要回溯。
4、KMP 算法思想
普通的字符串匹配算法必须要回溯。但回溯就影响了效率,回溯是由T串本身的性质决定的,是因为T串本身有前后’部分匹配’的性质。像上面所说如果主串为abcdef这样的,大没有回溯的必要。

改进的地方也就是这里,我们从T串本身出发,事先就找准了T自身前后部分匹配的位置,那就可以改进算法。

如果不用回溯,那模式串下一个位置从哪里开始呢?

还是上面那个例子,T(模式串)为ababc,如果c失配,那就可以往前移到aba最后一个a的位置,像这样:

…ababd…

   ababc

    ->ababc

这样i不用回溯,j跳到前2个位置,继续匹配的过程,这就是KMP算法所在。这个当T[j]失配后,j 应该往前跳的值就是j的next值,它是由T串本身固有决定的,与S串(主串)无关
5、next数组的含义

重点来了。下面解释一下next数组的含义,这个也是KMP算法中比较不好理解的一点。

令原始串为: S[i],其中0<=i<=n;模式串为: T[j],其中0<=j<=m。

假设目前匹配到如下位置

S0,S1,S2,…,Si-j,Si-j+1……………,Si-1, Si, Si+1,….,Sn

T0,T1,…………………,Tj-1, Tj, ……….

S和T的绿色部分匹配成功,恰好到Si和Tj的时候失配,如果要保持i不变,同时达到让模式串T相对于原始串S右移的话,可以更新j的值,让Si和新的Tj进行匹配,假设新的j用next[j]表示,即让Si和next[j]匹配,显然新的j值要小于之前的j值,模式串才会是右移的效果,也就是说应该有next[j] <= j -1。那新的j值也就是next[j]应该是多少呢?我们观察如下的匹配:

1)如果模式串右移1位(从简单的思考起,移动一位会怎么样),即next[j] = j – 1, 即让蓝色的Si和Tj-1匹配(注:省略号为未匹配部分)

S0,S1,S2,…,Si-j,Si-j+1……………,Si-1, Si, Si+1,….,Sn

T0,T1,…………………,Tj-1, Tj, ………. (T的划线部分和S划线部分相等【1】)

T0,T1,……………..Tj-2,Tj-1, ……. (移动后的T的划线部分和S的划线部分相等【2】)

根据【1】【2】可以知道当next[j] =j -1,即模式串右移一位的时候,有T[0 ~ j-2] == T[1 ~ j-1],而这两部分恰好是字符串T[0 ~j-1]的前缀和后缀,也就是说next[j]的值取决于模式串T中j前面部分的前缀和后缀相等部分的长度(好好揣摩这两个关键字概念:前缀、后缀,或者再想想,我的上一篇文章,从Trie树谈到后缀树中,后缀树的概念)。

2)如果模式串右移2位,即next[j] = j – 2, 即让蓝色的Si和Tj-2匹配

S0,S1,…,Si-j,Si-j+1,Si-j+2……………,Si-1, Si, Si+1,….,Sn

T0,T1,T2,…………………,Tj-1, Tj, ……….(T的划线部分和S划线部分相等【3】)

T0,T1,……………,Tj-3,Tj-2,………(移动后的T的划线部分和S的划线部分相等【4】)

同样根据【3】【4】可以知道当next[j] =j -2,即模式串右移两位的时候,有T[0 ~ j-3] == T[2 ~ j-1]。而这两部分也恰好是字符串T[0 ~j-1]的前缀和后缀,也就是说next[j]的值取决于模式串T中j前面部分的前缀和后缀相等部分的长度。

3)依次类推,可以得到如下结论:当发生失配的情况下,j的新值next[j]取决于模式串中T[0 ~ j-1]中前缀和后缀相等部分的长度, 并且next[j]恰好等于这个最大长度

为此,请再允许我引用上文中的一段原文:“KMP算法中,如果当前字符匹配成功,即S[i]==T[j],令i++,j++,继续匹配下一个字符;如果匹配失败,即S[i] != T[j],需要保持i不变,并且让j = next[j],这里next[j] <=j -1,即模式串T相对于原始串S向右移动了至少1位(移动的实际位数j – next[j]  >=1),

同时移动之后,i之前的部分(即S[i-j+1 ~ i-1]),和j=next[j]之前的部分(即T[0 ~ j-2])仍然相等。显然,相对于BF算法来说,KMP移动更多的位数,起到了一个加速的作用! (失配的特殊情形,令j=next[j]导致j==0的时候,需要将i ++,否则此时没有移动模式串)。”

于此,也就不难理解了我的关于KMP算法的第二篇文章之中:“当匹配到S[i] != P[j]的时候有 S[i-j…i-1] = P[0…j-1]. 如果下面用j_next去匹配,则有P[0…j_next-1] = S[i-j_next…i-1] = P[j-j_next…j-1]。此过程如下图3-1所示。

当匹配到S[i] != P[j]时,S[i-j…i-1] = P[0…j-1]:

S: 0 … i-j … i-1 i …

P:       0 …   j-1 j …

如果下面用j_next去匹配,则有P[0…j_next-1] = S[i-j_next…i-1] = P[j-j_next…j-1]。
所以在P中有如下匹配关系(获得这个匹配关系的意义是用来求next数组):

P: 0 … j-j_next  .…j-1_    …

P:        0    … .j_next-1 …

所以,根据上面两个步骤,推出下一匹配位置j_next:

S: 0 … i-j … i-j_next …   i-1      i …

P:                   0   … j_next-1 j_next …

图3-1 求j-next(最大的值)的三个步骤

下面,我们用变量k来代表求得的j_next的最大值,即k表示这S[i]、P[j]不匹配时P中下一个用来匹配的位置,使得P[0…k-1] = P[j-k…j-1],而我们要尽量找到这个k的最大值。”。

根据上文的【1】与【2】的匹配情况,可得第二篇文章之中所谓的k=1(如aaaa的形式),根据上文的【3】与【4】的匹配情况,k=2(如abab的形式)。

所以,归根究底,KMP算法的本质便是:针对待匹配的模式串的特点,判断它是否有重复的字符,从而找到它的前缀与后缀,进而求出相应的Next数组,最终根据Next数组而进行KMP匹配。接下来,进入本文的第二部分。

第二部分、next数组求法的来龙去脉与KMP算法的源码

本部分引自个人此前的关于KMP算法的第二篇文章:六之续、由KMP算法谈到BM算法。前面,我们已经知道即不能让P[j]=P[next[j]]成立成立。不能再出现上面那样的情况啊!即不能有这种情况出现:P[3]=b,而竟也有P[next[3]]=P[1]=b。

正如在第二篇文章中,所提到的那样:“这里读者理解可能有困难的是因为文中,时而next,时而nextval,把他们的思维搞混乱了。其实next用于表达数组索引,而nextval专用于表达next数组索引下的具体各值,区别细微。至于文中说不允许P=P[next[j] ]出现,是因为已经有P=b与S匹配败,而P[next]=P1=b,若再拿P[1]=b去与S匹配则必败。”–六之续、由KMP算法谈到BM算法。

又恰恰如上文中所述:“模式串T相对于原始串S向右移动了至少1位(移动的实际位数j – next[j]  >=1)”。

ok,求next数组的get_nextval函数正确代码如下:

  1. //代码4-1
  2. //修正后的求next数组各值的函数代码
  3. void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)
  4. {
  5.     int i = 0;
  6.     nextval[i] = -1;
  7.     int j = -1;
  8.     while( i < plen-1 )
  9.     {
  10.         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循环的if部分
  11.         {
  12.             ++i;
  13.             ++j;
  14.             //修正的地方就发生下面这4行
  15.             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i,++j之后,再次判断ptrn[i]与ptrn[j]的关系
  16.                 nextval[i] = j;      //之前的错误解法就在于整个判断只有这一句。
  17.             else
  18.                 nextval[i] = nextval[j];
  19.         }
  20.         else                                 //循环的else部分
  21.             j = nextval[j];
  22.     }
  23. }

    举个例子,举例说明下上述求next数组的方法。
S a b a b a b c
P a b a b c
S[4] != P[4]
那么下一个和S[4]匹配的位置是k=2(也即P[next[4]])。此处的k=2也再次佐证了上文第3节开头处关于为了找到下一个匹配的位置时k的求法。上面的主串与模式串开头4个字符都是“abab”,所以,匹配失效后下一个匹配的位置直接跳两步继续进行匹配。
S a b a b a b c
P      a b a b c
匹配成功

P的next数组值分别为-1 0 -1 0 2

next数组各值怎么求出来的呢?分以下五步:

  1. 初始化:i=0,j=-1,nextval[0] = -1。由于j == -1,进入上述循环的if部分,++i得i=1,++j得j=0,且ptrn[i] != ptrn[j](即a!=b)),所以得到第二个next值即nextval[1] = 0;;
  2. i=1,j=0,进入循环esle部分,j=nextval[j]=nextval[0]=-1;
  3. 进入循环的if部分,++i,++j,i=2,j=0,因为ptrn[i]=ptrn[j]=a,所以nextval[2]=nextval[0]=-1;
  4. i=2, j=0, 由于ptrn[i]=ptrn[j],再次进入循环if部分,所以++i=3,++j=1,因为ptrn[i]=ptrn[j]=b,所以nextval[3]=nextval[1]=0;
  5. i=3,j=1,由于ptrn[i]=ptrn[j]=b,所以++i=4,++j=2,退出循环。

这样上例中模式串的next数组各值最终应该为:

 

图4-1 正确的next数组各值
next数组求解的具体过程如下:
    初始化:nextval[0] = -1,我们得到第一个next值即-1.

 

图4-2 初始化第一个next值即-1

i = 0,j = -1,由于j == -1,进入上述循环的if部分,++i得i=1,++j得j=0,且ptrn[i] != ptrn[j](即a!=b)),所以得到第二个next值即nextval[1] = 0;

 

图4-3 第二个next值0

上面我们已经得到,i= 1,j = 0,由于不满足条件j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j],所以进入循环的esle部分,得j = nextval[j] = -1;此时,仍满足循环条件,由于i = 1,j = -1,因为j == -1,再次进入循环的if部分,++i得i=2,++j得j=0,由于ptrn[i] == ptrn[j](即ptrn[2]=ptrn[0],也就是说第1个元素和第三个元素都是a),所以进入循环if部分内嵌的else部分,得到nextval[2] = nextval[0] = -1;

 

图4-4 第三个next数组元素值-1

i = 2,j = 0,由于ptrn[i] == ptrn[j],进入if部分,++i得i=3,++j得j=1,所以ptrn[i] == ptrn[j](ptrn[3]==ptrn[1],也就是说第2个元素和第4个元素都是b),所以进入循环if部分内嵌的else部分,得到nextval[3] = nextval[1] = 0;

 

图4-5 第四个数组元素值0
如果你还是没有弄懂上述过程是怎么一回事,请现在拿出一张纸和一支笔出来,一步一步的画下上述过程。相信我,把图画出来了之后,你一定能明白它的。
然后,我留一个问题给读者,为什么上述的next数组要那么求?有什么原理么?

提示:我们从上述字符串abab 各字符的next值-1 0 -1 0,可以看出来,根据求得的next数组值,偷用前缀、后缀的概念,一定可以判断出在abab之中,前缀和后缀相同,即都是ab,反过来,如果一个字符串的前缀和后缀相同,那么根据前缀和后缀依次求得的next各值也是相同的。

  • 5、利用求得的next数组各值运用Kmp算法

Ok,next数组各值已经求得,万事俱备,东风也不欠了。接下来,咱们就要应用求得的next值,应用KMP算法来匹配字符串了。还记得KMP算法是怎么一回事吗?容我再次引用下之前的KMP算法的代码,如下:

  1. //代码5-1
  2. //int kmp_seach(char const*, int, char const*, int, int const*, int pos)  KMP模式匹配函数
  3. //输入:src, slen主串
  4. //输入:patn, plen模式串
  5. //输入:nextval KMP算法中的next函数值数组
  6. int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)
  7. {
  8.     int i = pos;
  9.     int j = 0;
  10.     while ( i < slen && j < plen )
  11.     {
  12.         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )
  13.         {
  14.             ++i;
  15.             ++j;
  16.         }
  17.         else
  18.         {
  19.             j = nextval[j];
  20.             //当匹配失败的时候直接用p[j_next]与s[i]比较,
  21.             //下面阐述怎么求这个值,即匹配失效后下一次匹配的位置
  22.         }
  23.     }
  24.     if( j >= plen )
  25.         return i-plen;
  26.     else
  27.         return -1;
  28. }

我们上面已经求得的next值,如下:

 

图5-1 求得的正确的next数组元素各值

以下是匹配过程,分三步:
第一步:主串和模式串如下,S[3]与P[3]匹配失败。

 

图5-2 第一步,S[3]与P[3]匹配失败
第二步:S[3]保持不变,P的下一个匹配位置是P[next[3]],而next[3]=0,所以P[next[3]]=P[0],即P[0]与S[3]匹配。在P[0]与S[3]处匹配失败。

 

图5-3 第二步,在P[0]与S[3]处匹配失败

第三步:与上文中第3小节末的情况一致。由于上述第三步中,P[0]与S[3]还是不匹配。此时i=3,j=nextval[0]=-1,由于满足条件j==-1,所以进入循环的if部分,++i=4,++j=0,即主串指针下移一个位置,从P[0]与S[4]处开始匹配。最后j==plen,跳出循环,输出结果i-plen=4(即字串第一次出现的位置),匹配成功,算法结束。

 

图5-4 第三步,匹配成功,算法结束
所以,综上,总结上述三步为:

  1. 开始匹配,直到P[3]!=S[3],匹配失败;
  2. nextval[3]=0,所以P[0]继续与S[3]匹配,再次匹配失败;
  3. nextval[0]=-1,满足循环if部分条件j==-1,所以,++i,++j,主串指针下移一个位置,从P[0]与S[4]处开始匹配,最后j==plen,跳出循环,输出结果i-plen=4,算法结束。

第三部分、KMP算法的两种实现

代码实现一:

根据上文中第二部分内容的解析,完整写出KMP算法的代码已经不是难事了,如下:

  1. //copyright@2011 binghu and july
  2. #include ”StdAfx.h”
  3. #include <string>
  4. #include <iostream>
  5. using namespace std;
  6. //代码4-1
  7. //修正后的求next数组各值的函数代码
  8. void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)
  9. {
  10.     int i = 0;  //注,此处与下文的代码实现二不同的是,i是从0开始的(代码实现二i从1开始)
  11.     nextval[i] = -1;
  12.     int j = -1;
  13.     while( i < plen-1 )
  14.     {
  15.         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循环的if部分
  16.         {
  17.             ++i;
  18.             ++j;
  19.             //修正的地方就发生下面这4行
  20.             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i,++j之后,再次判断ptrn[i]与ptrn[j]的关系
  21.                 nextval[i] = j;      //之前的错误解法就在于整个判断只有这一句。
  22.             else
  23.                 nextval[i] = nextval[j];
  24.         }
  25.         else                                 //循环的else部分
  26.             j = nextval[j];
  27.     }
  28. }
  29. void print_progress(char const* src, int src_index, char const* pstr, int pstr_index)
  30. {
  31.     cout<<src_index<<”\t”<<src<<endl;
  32.     cout<<pstr_index<<”\t”;
  33.     for( int i = 0; i < src_index-pstr_index; ++i )
  34.         cout<<” ”;
  35.     cout<<pstr<<endl;
  36.     cout<<endl;
  37. }
  38. //代码5-1
  39. //int kmp_seach(char const*, int, char const*, int, int const*, int pos)  KMP模式匹配函数
  40. //输入:src, slen主串
  41. //输入:patn, plen模式串
  42. //输入:nextval KMP算法中的next函数值数组
  43. int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)
  44. {
  45.     int i = pos;
  46.     int j = 0;
  47.     while ( i < slen && j < plen )
  48.     {
  49.         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )
  50.         {
  51.             ++i;
  52.             ++j;
  53.         }
  54.         else
  55.         {
  56.             j = nextval[j];
  57.             //当匹配失败的时候直接用p[j_next]与s[i]比较,
  58.             //下面阐述怎么求这个值,即匹配失效后下一次匹配的位置
  59.         }
  60.     }
  61.     if( j >= plen )
  62.         return i-plen;
  63.     else
  64.         return -1;
  65. }
  66. int   main()
  67. {
  68.     std::string src = ”aabcabcebafabcabceabcaefabcacdabcab”;
  69.     std::string prn = ”abac”;
  70.     int* nextval = new int[prn.size()];
  71.     //int* next = new int[prn.size()];
  72.     get_nextval(prn.data(), prn.size(), nextval);
  73.     //get_next(prn.data(), prn.size(), next);
  74.     for( int i = 0; i < prn.size(); ++i )
  75.         cout<<nextval[i]<<”\t”;
  76.     cout<<endl;
  77.     cout<<”result sub str: ”<<src.substr( kmp_search(src.data(), src.size(), prn.data(), prn.size(), nextval, 0) )<<endl;
  78.     system(“pause”);
  79.     delete[] nextval;
  80.     return 0;
  81. }

运行结果,如下图所示:

 

代码实现二

再给出代码实现二之前,让我们再次回顾下关于KMP算法的第一篇文章中的部分内容:

第二节、KMP算法

2.1、 覆盖函数(overlay_function)

覆盖函数所表征的是pattern本身的性质,可以让为其表征的是pattern从左开始的所有连续子串的自我覆盖程度。比如如下的字串,abaabcaba

可能上面的图令读者理解起来还是不那么清晰易懂,其实很简单,针对字符串abaabcaba

a(-1) b(-1)a(0) a(0) b(1) c(-1) a(0) b(1)a(2)

解释:

  1. 初始化为-1
  2. b与a不同为-1
  3. 与第一个字符a相同为0
  4. 还是a为0
  5. 后缀ab与前缀ab两个字符相同为1
  6. 前面并无前缀c为-1
  7. 与第一个字符同为0
  8. 后缀ab前缀ab为1
  9. 前缀aba后缀aba为2

由于计数是从0始的,因此覆盖函数的值为0说明有1个匹配,对于从0还是从来开始计数是偏好问题,具体请自行调整,其中-1表示没有覆盖,那么何为覆盖呢,下面比较数学的来看一下定义,比如对于序列

 

  a0a1…aj-1 aj

 

要找到一个k,使它满足

a0a1…ak-1ak=aj-kaj-k+1…aj-1aj

而没有更大的k满足这个条件,就是说要找到尽可能大k,使pattern前k字符与后k字符相匹配,k要尽可能的大,原因是如果有比较大的k存在。

但若我们选择较小的满足条件的k,那么当失配时,我们就会使pattern向右移动的位置变大,而较少的移动位置是存在匹配的,这样我们就会把可能匹配的结果丢失。比如下面的序列,

在红色部分失配,正确的结果是k=1的情况,把pattern右移4位,如果选择k=0,右移5位则会产生错误。计算这个overlay函数的方法可以采用递推,可以想象如果对于pattern的前j个字符,如果覆盖函数值为k

a0a1…ak-1ak=aj-kaj-k+1…aj-1aj
则对于pattern的前j+1序列字符,则有如下可能
⑴     pattern[k+1]==pattern[j+1] 此时overlay(j+1)=k+1=overlay(j)+1
⑵     pattern[k+1]≠pattern[j+1] 此时只能在pattern前k+1个子符组所的子串中找到相应的overlay函数,h=overlay(k),如果此时pattern[h+1]==pattern[j+1],则overlay(j+1)=h+1否则重复(2)过程.

下面给出一段计算覆盖函数的代码:

  1. //copyright@ staurman
  2. //updated@2011 July
  3. #include ”StdAfx.h”
  4. #include<iostream>
  5. #include<string>
  6. using namespace std;
  7. //solve to the next array
  8. void compute_overlay(const string& pattern)
  9. {
  10.     const int pattern_length = pattern.size();
  11.     int *overlay_function = new int[pattern_length];
  12.     int index;
  13.     overlay_function[0] = -1;
  14.     for(int i=1;i<pattern_length;++i)
  15.         //注,与上文代码段一不同的是,此处i是从1开始的,所以,下文中运用俩种方法求出来的next数组各值会有所不同
  16.     {
  17.         index = overlay_function[i-1];
  18.         //store previous fail position k to index;
  19.         while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])
  20.         {
  21.             index = overlay_function[index];
  22.         }
  23.         if(pattern[i]==pattern[index+1])
  24.         {
  25.             overlay_function[i] = index + 1;
  26.         }
  27.         else
  28.         {
  29.             overlay_function[i] = -1;
  30.         }
  31.     }
  32.     for(int i=0;i<pattern_length;++i)
  33.     {
  34.         cout<<overlay_function[i]<<endl;
  35.     }
  36.     delete[] overlay_function;
  37. }
  38. //abaabcaba
  39. int main()
  40. {
  41.     string pattern = ”abaabcaba”;
  42.     compute_overlay(pattern);
  43.     system(“pause”);
  44.     return 0;
  45. }

    运行结果如下所示:

 

2.2、kmp算法
     有了覆盖函数,那么实现kmp算法就是很简单的了,我们的原则还是从左向右匹配,但是当失配发生时,我们不用把target_index向回移动,target_index前面已经匹配过的部分在pattern自身就能体现出来,只要动pattern_index就可以了。

当发生在j长度失配时,只要把pattern向右移动j-overlay(j)长度就可以了。

如果失配时pattern_index==0,相当于pattern第一个字符就不匹配,这时就应该把target_index加1,向右移动1位就可以了。

ok,下图就是KMP算法的过程(红色即是采用KMP算法的执行过程):

(另一作者saturnman发现,在上述KMP匹配过程图中,index=8和index=11处画错了。还有,anaven也早已发现,index=3处也画错了。非常感谢。但图已无法修改,见谅)

KMP 算法可在O(n+m)时间内完成全部的串的模式匹配工作。

OK,下面此前写的关于KMP算法的第一篇文章中的源码:

  1. //copyright@ saturnman
  2. //updated@ 2011 July
  3. #include ”stdafx.h”
  4. #include<iostream>
  5. #include<string>
  6. #include <vector>
  7. using namespace std;
  8. int kmp_find(const string& target,const string& pattern)
  9. {
  10.     const int target_length=target.size();
  11.     const int pattern_length=pattern.size();
  12.     int* overlay_value=new int[pattern_length];
  13.     overlay_value[0]=-1;        //remember:next array’s first number was -1.
  14.     int index=0;
  15.     //next array
  16.     for (int i=1;i<pattern_length;++i)
  17.         //注,此处的i是从1开始的
  18.     {
  19.         index=overlay_value[i-1];
  20.         while (index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])  //remember:!=
  21.         {
  22.             index=overlay_value[index];
  23.         }
  24.         if(pattern[index+1] == pattern[i])
  25.         {
  26.             overlay_value[i]=index+1;
  27.         }
  28.         else
  29.         {
  30.             overlay_value[i]=-1;
  31.         }
  32.     }
  33.     //mach algorithm start
  34.     int pattern_index=0;
  35.     int target_index=0;
  36.     while (pattern_index<pattern_length && target_index<target_length)
  37.     {
  38.         if (target[target_index] == pattern[pattern_index])
  39.         {
  40.             ++target_index;
  41.             ++pattern_index;
  42.         }
  43.         else if(pattern_index==0)
  44.         {
  45.             ++target_index;
  46.         }
  47.         else
  48.         {
  49.             pattern_index=overlay_value[pattern_index-1]+1;
  50.         }
  51.     }
  52.     if (pattern_index==pattern_length)
  53.     {
  54.         return target_index-pattern_index;
  55.     }
  56.     else
  57.     {
  58.         return -1;
  59.     }
  60.     delete [] overlay_value;
  61. }
  62. int main()
  63. {
  64.     string sourc=”ababc”;
  65.     string pattern=”abc”;
  66.     cout<<kmp_find(sourc,pattern)<<endl;
  67.     system(“pause”);
  68.     return 0;
  69. }

由于是abc跟ababc匹配,那么将返回匹配的位置“2”,运行结果如所示:

 

第四部分、测试

针对上文中第三部分的两段代码测试了下,纠结了,两种求next数组的方法对同一个字符串求next数组各值,得到的结果竟然不一样,如下二图所示:

1、两种方法对字符串abab求next数组各值比较:

2、两种对字符串abaabcaba求next数组各值比较:

为何会这样呢,其实很简单,上文中已经有所说明了,代码实现一的i 是从0开始的,代码实现二的i 是从1开始的。但从最终的运行结果来看,暂时还是以代码实现段二为准。

第五部分、KMP完整准确源码

求next数组各值的方法为:

  1. //copyright@ staurman
  2. //updated@2011 July
  3. #include ”StdAfx.h”
  4. #include<iostream>
  5. #include<string>
  6. using namespace std;
  7. //solve to the next array
  8. void compute_overlay(const string& pattern)
  9. {
  10.     const int pattern_length = pattern.size();
  11.     int *overlay_function = new int[pattern_length];
  12.     int index;
  13.     overlay_function[0] = -1;
  14.     for(int i=1;i<pattern_length;++i)
  15.     {
  16.         index = overlay_function[i-1];
  17.         //store previous fail position k to index;
  18.         while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])
  19.         {
  20.             index = overlay_function[index];
  21.         }
  22.         if(pattern[i]==pattern[index+1])
  23.         {
  24.             overlay_function[i] = index + 1;
  25.         }
  26.         else
  27.         {
  28.             overlay_function[i] = -1;
  29.         }
  30.     }
  31.     for(int i=0;i<pattern_length;++i)
  32.     {
  33.         cout<<overlay_function[i]<<endl;
  34.     }
  35.     delete[] overlay_function;
  36. }
  37. //abaabcaba
  38. int main()
  39. {
  40.     string pattern = ”abaabcaba”;
  41.     compute_overlay(pattern);
  42.     system(“pause”);
  43.     return 0;
  44. }

运行结果入下图所示:abab的next数组各值是-1,-1,0,1,而非本文第二部分所述的-1,0,-1,0。为什么呢?难道是搬石头砸了自己的脚?

NO,上文第四部分末已经详细说明,上处代码i 从0开始,本文第二部分代码i 从1开始。

 

KMP算法完整源码,如下:

  1. //copyright@ saturnman
  2. //updated@ 2011 July
  3. #include ”stdafx.h”
  4. #include<iostream>
  5. #include<string>
  6. #include <vector>
  7. using namespace std;
  8. int kmp_find(const string& target,const string& pattern)
  9. {
  10.     const int target_length=target.size();
  11.     const int pattern_length=pattern.size();
  12.     int* overlay_value=new int[pattern_length];
  13.     overlay_value[0]=-1;        //remember:next array’s first number was -1.
  14.     int index=0;
  15.     //next array
  16.     for (int i=1;i<pattern_length;++i)
  17.         //注,此处的i是从1开始的
  18.     {
  19.         index=overlay_value[i-1];
  20.         while (index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])
  21.         {
  22.             index=overlay_value[index];
  23.         }
  24.         if(pattern[index+1] == pattern[i])
  25.         {
  26.             overlay_value[i]=index+1;
  27.         }
  28.         else
  29.         {
  30.             overlay_value[i]=-1;
  31.         }
  32.     }
  33.     //mach algorithm start
  34.     int pattern_index=0;
  35.     int target_index=0;
  36.     while (pattern_index<pattern_length && target_index<target_length)
  37.     {
  38.         if (target[target_index] == pattern[pattern_index])
  39.         {
  40.             ++target_index;
  41.             ++pattern_index;
  42.         }
  43.         else if(pattern_index==0)
  44.         {
  45.             ++target_index;
  46.         }
  47.         else
  48.         {
  49.             pattern_index=overlay_value[pattern_index-1]+1;
  50.         }
  51.     }
  52.     if (pattern_index==pattern_length)
  53.     {
  54.         return target_index-pattern_index;
  55.     }
  56.     else
  57.     {
  58.         return -1;
  59.     }
  60.     delete [] overlay_value;
  61. }
  62. int main()
  63. {
  64.     string sourc=”ababc”;
  65.     string pattern=”abc”;
  66.     cout<<kmp_find(sourc,pattern)<<endl;
  67.     system(“pause”);
  68.     return 0;
  69. }

    运行结果如下:

 

第六部分、一眼看出字符串的next数组各值

上文已经用程序求出了一个字符串的next数组各值,接下来,稍稍演示下,如何一眼大致判断出next数组各值,以及初步判断某个程序求出的next数组各值是不是正确的。有一点务必注意:下文中的代码全部采取代码实现二,即i是从1开始的。

  • 1、对字符串aba求next数组各值,各位可以先猜猜,-1,…,aba中,a初始化为-1,第二个字符b与a不同也为-1,最后一个字符和第一个字符都是a,所以,我猜其next数组各值应该是-1,-1,0,结果也不出所料,如下图所示:

 

  • 2、字符串“abab”呢,不用猜了,我已经看出来了,当然上文中代码实现一和代码实现二都已经求出来了。如果i 是1开始的话,那么next数组各值将如代码实现二所运行的那样,将是:-1,-1,0,1;
  • 3、字符串“abaabcaba”呢,next数组如上第三部分代码实现二所述,为-1,-1,0,0,1,-1,0,1,2;
  • 4、字符串“abcdab”呢,next数组各值将是-1,-1,-1,-1,0,1;
  • 5、字符串“abcdabc”呢,next数组各值将是-1,-1,-1,-1,0,1,2;
  • 6、字符串“abcdabcd”呢,那么next数组各值将是-1,-1,-1,-1,0,1,2,3;

 

怎么样,看出规律来了没?呵呵,可以用上述第五部分中求next数组的方法自个多试探几次,相信,很快,你也会跟我一样,不用计算,一眼便能看出某个字符串的next数组各值了。如此便恭喜你,理解了next数组的求法,KMP算法也就算是真真正正彻彻底底的理解了。完。

相关链接

  1. KMP之第二篇文章:六(续)、从KMP算法一步一步谈到BM算法
  2. KMP之第一篇文章:六、教你初步了解KMP算法、updated

后记

     相信,看过此文后,无论是谁,都一定可以把KMP算法搞懂了(但万一还是有读者没有搞懂,那怎么办呢?还有最后一个办法:把本文打印下来,再仔细琢磨。如果是真真正正想彻底弄懂某一个东西,那么必须付出些代价。但万一要是打印下来了却还是没有弄懂呢?那来北京找我吧,我手把手教你。祝好运)。
    在结束全文之前,谈两点感悟:
  1. 语言->数据结构->算法:语言是基础,够啃一辈子,基本的常见的数据结构得了如指掌,最后才是算法。除了算法之外,有更多更重要且更值得学习的东西(最重要的是,学习如何编程)。切勿盲目跟风,找准自己的兴趣点,和领域才是关键。这跟选择职位、与领域并持久做下去,比选择公司更重要一样。选择学什么东西不重要,重要的是你的兴趣。
  2. 修订这篇文章之时,个人接触KMP都有一年了,学算法也刚好快一年。想想阿,我弄一个KMP,弄了近一年了,到今天才算是真正彻底理解其思想,可想而知,当初创造这个算法的k、m、p三人是何等不易。我想,有不少读者是因为我的出现而想学算法的,但不可急功近利,切勿妄想算法速成。早已说过,学算法先修心。
     OK,文中有关任何问题或错误,烦请不吝赐教与指正。谢谢,完。
    作者:July。
    July、二零一一年十二月五日中午。

出处:http://blog.csdn.net/v_JULY_v/

WordPress数据库查询SELECT YEAR(post_date) AS `year`, MONTH(post_date) AS `month`, count(ID) as posts FROM wp_posts WHERE post_type = 'post' AND post_status = 'publish' GROUP BY YEAR(post_date), MONTH(post_date) ORDER BY post_date DESC 时发生Expression #1 of ORDER BY clause is not in GROUP BY clause and contains nonaggregated column 'jingjing.wp_posts.post_date' which is not functionally dependent on columns in GROUP BY clause; this is incompatible with sql_mode=only_full_group_by错误,这是由require('wp-blog-header.php'), require_once('wp-includes/template-loader.php'), include('/themes/green-hope/archive.php'), get_sidebar, locate_template, load_template, require_once('/themes/green-hope/sidebar.php'), dynamic_sidebar, call_user_func_array, WP_Widget->display_callback, WP_Widget_Archives->widget, wp_get_archives查询的。

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